गणित2

मूलभूत अंकगणितातील इतर प्रकरणांमध्ये गणिती क्रियांवर आधारित सर्व नियम माहीत करून घेणे आवश्यक आहे. बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार सुलट व उलट क्रमाने विचारात घ्यावेत. भागाकारामध्ये प्रत्यक्ष भागाकार, विभाज्यतेच्या कसोटय़ा आणि शेष सिद्धांतावर आधारित प्रश्न विचारले जातात. अपूर्णाकामध्ये सोप्या आकडेमोडीपासून शाब्दिक उदाहरणांपर्यंत प्रश्न विचारले जातात. वर्ग, वर्गमूळ व घन, घनमूळ या संकल्पनांमुळे आकडेमोड वेगाने होण्यास मदत होते. अंकगणितातील सर्व प्रकरणांचा तपशिलवार अभ्यास ‘सामान्य मानसिक क्षमता’ यावरील प्रश्न सोडविण्यासाठी फायदाचा ठरतो.
‘बीजगणित’ हा गणितातील एक भाग शालेय स्तरावर अभ्यासला जातो. साधारणपणे संख्या व चलांच्या आधारे तयार होणाऱ्या पदांचा यात समावेश होतो. बजिक राशी, बहुपदी व त्यांचे अवयव इ. गोष्टी समीकरणे तयार करण्यासाठी वापरल्या जातात. निर्देशक भूमितीमध्ये रेषांच्या समीकरणासाठी याचा उपयोग होतो. जसे ७ अक्षाचे समीकरण 
y = 0 आणि y – अक्षाचे समीकरण x = 0 या बाबीपासून y = mx,  y = mx + h, x/a + y/b =1
 ही आलेखातील समीकरणे असतात. बीजगणितामुळे शाब्दिक उदाहरणातील समीकरण तयार करणे सोपे होते. समीकरणांवर आधारित काही उदाहरणे पाहू.
उदा. (1) मेंढय़ा व मेंढपाळांच्या एका गटात एकूण पायांची संख्या ही एकूण डोक्यांच्या संख्येच्या दुपटीपेक्षा 16 ने जास्त आहे, तर त्या गटातील एकूण मेंढय़ा किती?
मेंढय़ांची संख्या ‘x’ व मेंढपाळांची संख्या y मानू
पायांची एकूण संख्या  = 4x + 2y डोक्यांची एकूण संख्या = x + y
दिलेल्या माहितीवरून,
4x + 2y = (2x + y)+ 16
∴   4x + 2y = 2x + 2y + 16 
2x = 16; x = 8  म्हणून मेंढय़ांची संख्या ही 8 आहे.
उदा. (2)  एका स्पध्रेत काही खेळाडूंनी भाग घेतला. या स्पध्रेत प्रत्येक खेळाडूला प्रत्येक खेळाडूशी प्रत्येकी एक सामना खेळायचा होता. परंतु प्रत्येकी तीन सामने खेळल्यानंतर त्यातील तीन खेळाडू आजारी पडल्याने स्पर्धा सोडून गेले. त्यामुळे स्पध्रेत एकूण 75 सामने खेळले गेले, तर सुरुवातीला स्पध्रेत एकूण किती खेळाडूंनी भाग घेतला होता?
समजा, ‘x’ खेळाडूंनी भाग घेतला होता.
स्पध्रेतील खेळले जाणारे एकूण सामने
(x-1)+(x-2) + (x-3) ..3+2+1   x(x -1)2 
न खेळलेले सामने    (x – 1)-3 = (x – 6);
(x – 2) – 3 = (x – 5) आणि
(x – 3) – 3 = (x – 6)
यावरून, 
x (x -1)/2     = 75 + x 4 + x5 + x6
∴    x (x – 1)/2     = 3x + 60
∴    x2 – x = 6x + 120
∴    x2 – 7x – 120 = 0
हे वर्ग समीकरण तयार होते. 
∴   (x – 15) (x + 8) = 0 
∴    x = 15 किंवा x = -8
∴    x = 15 =  खेळाडूंची संख्या 
व्यावसायिक गणित- यातील प्रकरणांचा अभ्यास हा मूलभूत अंकगणितातील व बीजगणितातील संकल्पनांवर आधारलेला असतो. जसे शतमान व गुणोत्तर व प्रमाण या प्रकरणांसाठी अपूर्णाक ही संकल्पना स्पष्ट असणे आवश्यक आहे. तसेच शतमान ही संकल्पना नफा-तोटा, सूट, व्याज या प्रकरणांसाठी गुणोत्तर व प्रमाण ही संकल्पना काळ, काम, वेग, अंतर या प्रकरणांसाठी उपयुक्त ठरते.
कोणत्याही प्रकरणातील सुरुवात समजावून घेणे आवश्यक असते. शतमान या प्रकरणाच्या तयारी संदर्भात त्याचा अर्थ, अपूर्णाक व टक्के यांच्यातील रूपांतरे, संख्यांच्या टक्केवारीतील तुलना, एखाद्या संख्येत काही टक्के मिळविणे वा संख्येतून काही टक्के वजा करणे या मूलभूत संकल्पना आहेत. याच्या आधारे परीक्षार्थी जितका जास्तीत जास्त सराव करतो तितक्या वेगवेगळ्या प्रकारची उदाहरणे सोडविता येतात. परीक्षा कक्षात उदाहरणे सोडविताना वेळ वाचविण्यासाठी तशा प्रकारच्या प्रश्नांची सामन्यतत्त्वानुसार तयारी केली पाहिजे तसेच उदाहरणात ज्या दृष्टिकोनातून माहिती दिलेली आहे तोच दृष्टिकोन उदाहरण सोडविताना असला पाहिजे जसे. 
उदा. (1) एका शहराची लोकसंख्या दरवर्षी 5% नी वाढते. या वर्षी त्या शहराची लोकसंख्या 42 हजार आहे, तर गेल्या वर्षी ती किती होती?
गेल्या वर्षी त्या शहराची लोकसंख्या x मानू, 
म्हणून यावर्षी लोकसंख्या = x +   5/100 x
यावरून,
x +   5/100 x = 42000 
105/100  x = 42000 
x = 42000 X 100/105     = 40,000 म्हणून गेल्या वर्षी त्या शहरांची लोकसंख्या 40 हजार होती.
उदा. (2)  वर्तुळाची त्रिज्या 10% नी वाढविल्यास वर्तुळाचे क्षेत्रफळ किती टक्क्यांनी वाढेल?
भूमितीतील क्षेत्रफळ, पृष्ठफळ व घनफळ आणि शतमान यांच्या संबंधावरील प्रश्नांमध्ये नेहमी वर्तुळाची त्रिज्या/ चौरसाची बाजू/ घनाची बाजू/ घनगोलाची त्रिज्या/ दंडगोलाची तळाची त्रिज्या व उंची/ शंकूची तळाची त्रिज्या व उंची प्रत्येकी 10 एकक मानणे आवश्यक आहे. कारण क्षेत्रफळ व पृष्ठफळ 100 च्या पटीत आणि घनफळ 1000 च्या पटीत विचारात घेता येते.
यावरून, पहिल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ =  = πr²
= π(10)2 
= 100π चौ. एकक 
दुसऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या = 10 + 10 चे 10% = 11 एकक 
दुसऱ्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π(11)2 = 121πचौ. एकक 
क्षेत्रफळातील वाढ = 121π – 100π= 21%
अशाप्रकारे कोणत्याही संख्येची 100 या संख्येशी तुलना केल्यास उदाहरणे कमी वेळेत सोडविता येतात.
Permutation & Combination या प्रकरणातील प्रश्नांसाठी प्रत्येकी केवळ एकच सूत्र असते, मात्र विविध अटींनुसार प्रश्न सोडविण्यासाठी परीक्षार्थीने त्या सूत्रांमध्ये  आवश्यक तो बदल करणे आवश्यक ठरते. एखाद्या समूहातील सर्व किंवा काही घटकांची वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त किती प्रकारे मांडणी करता येणे शक्य आहे त्यांची संख्या म्हणजे Permutation होय. त्यामुळे यामध्ये क्रमाला महत्त्व असते. 
सूत्र, = npr =   n!/(n-r)!
n! = n(n – 1) (n – 2) (n – 3) …X 3 x 2 x 1 
n = एकूण घटक आणि r = प्रत्येक गटातील घटकांची संख्या
 उदा. A, B, C व D  या चार मित्रांचे प्रत्येक फोटोमध्ये सर्वाचा समावेश आहे असे वेगवेगळ्या क्रमातील जास्तीत जास्त किती फोटो काढता येतील?
येथे, n = 4 व r = 4
∴    4p4 = 4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24 
एखाद्या समूहातील सर्व किंवा काही घटकांची वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त किती प्रकारे निवड करता येते त्यांची संख्या म्हणजे Combination होय. याचा अर्थ यामध्ये क्रमाला महत्त्व नसते.
सूत्र  nCr =n!/(n-r)!r!

उदा. (6) पुरुष व 4 स्त्रियांमधून 5 सदस्यांच्या समितीत फक्त दोन स्त्रियांची निवड करताना वेगवेगळ्या जास्तीत जास्त किती प्रकारांमध्ये ही समिती स्थापन करता येऊ शकते?
येथे 5 सदस्यांपकी 2 स्त्रिया म्हणजे 3 पुरुष असणार, म्हणून अपेक्षित संख्या 
=  6C3 X 4C2 =  6!/3!3! X  4!/2!2!
= 20 X 6 
= 120 भूमिती – हा विषय काही अमूर्त संकल्पनांवर आधारित आहे. काही काल्पनिक गोष्टी जसे बिंदू, रेषा, किरण, रेषाखंड, प्रतल या संकल्पना लक्षात घेऊन तयारी केली जाते. कोन, त्रिकोण, चौकोन, बहुभुजाकृती वर्तुळ या काही द्विमितीय आकृत्या तसेच घन, इष्टिकाचिती, दंडगोल, शंकू, घनगोल इ. त्रिमितीय आकृत्यांचा अभ्यास करताना त्यातील प्रमेये, क्षेत्रफळ, पृष्ठफळ, घनफळ यांची सूत्रे लक्षात घेणे आवश्यक ठरते. त्रिकोणमितीमध्ये अंकगणित, बीजगणित व भूमिती या गणिताच्या सर्व शाखांचा समावेश होतो.
अशाप्रकारे गणित विषयाचा अभ्यासक्रम विचारात घेतल्यास केवळ थोडय़ा काळाचा विचार न करता चिरकाल टिकणारा अभ्यास करण्यासाठी आपण आवश्यक वेळ दिल्यास स्पर्धा परीक्षेतील गणितातील सर्व प्रश्नांची उत्तरे देता येणे शक्य आहे. केवळ एक-दोन दिवसांच्या शिबिरातून एखाद्या विद्यार्थ्यांला गणित या विषयाचे संपूर्ण आकलन होत नसते. तर त्यासाठी किमान सहा-आठ महिने सातत्यपूर्ण तयारी करणे आवश्यक असते. गणित या विषयाच्या तयारीसाठी शुभेच्छा!