गणित

उदा. 366 पृष्ठे असलेल्या पुस्तकातील सर्व पृष्ठांवर क्रमांक देण्यासाठी एकूण किती अंक वापरावे लागतील?
येथे पहिल्या 9 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी एक याप्रमाणे 9 अंक, पुढील 90 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी दोन याप्रमाणे 180 अंक आणि उरलेल्या 267 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी 3 याप्रमाणे 801 अंक असे एकूण 9 + 180 + 801 = 990 अंक वापरावे लागतील. जर याच्या उलट प्रश्न विचारला तर विरुद्ध दिशेने जावे लागेल. उदा. एका मुद्रकाने त्याच्या पुस्तकातील सर्व पृष्ठांवर क्रमांक देण्यासाठी एकूण 4893 अंक वापरले तर त्या पुस्तकात एकूण किती पृष्ठे आहेत? वरील उदाहरणाप्रमाणे पहिल्या 9 पृष्ठांसाठी 9 अंक, पुढील 90 पृष्ठांसाठी 180 अंक त्याचप्रमाणे त्या पुढील 900 पृष्ठांसाठी प्रत्येकी तीन असे 2700 अंक लागतील म्हणजेच 9 + 90 + 900 = 999 पृष्ठांसाठी एकूण 9 + 180 + 2700 = 2889 अंक लागतील. 4893 अंकांपकी 2889 अंक वापरल्यानंतर 4 अंकी संख्यांसाठी फक्त 2004 अंक उरतील. त्यातून 4 अंकी 501 संख्या तयार होतील. म्हणून पुस्तकातील एकूण पृष्ठे = 999 + 501 = 1500.
संख्याबद्दल वस्तुनिष्ठ माहितीनुसार 1 ते 100 संख्यांदरम्यान येणाऱ्या सर्व संख्यांमध्ये 
a) 1 हा अंक 21 वेळा आणि 2 ते 9 पकी कोणताही अंक प्रत्येकी 20 वेळा येतो.
b) 1 हा अंक असणाऱ्या 20 संख्या आहेत आणि 2 ते 9 पकी कोणताही अंक असणाऱ्या प्रत्येकी 19 संख्या आहेत.
c) 1 हा अंक फक्त एकदाच असणाऱ्या 19 संख्या आहेत आणि 2 ते 9 पकी कोणताही अंक फक्त  एकदाच असणाऱ्या प्रत्येकी 18 संख्या असतात. या माहितीवर आधारित विविध काठीण्यपातळीवर प्रश्न विचारले जातात. 
उदा. (1) 501 ते 700 दरम्यान येणाऱ्या सर्व संख्यांमध्ये 6 हा अंक किती वेळा येतो?
501 ते 599 या संख्यांमध्ये 6 अंक 20 वेळा येतो. त्याचप्रमाणे 601 ते 700 या संख्यांमध्ये फक्त एकक व दशक स्थानी एकत्रितपणे 6 हा अंक 20 वेळा येतो आणि 600 ते 699 या 100 संख्यांमध्ये 6 हा शतक स्थानी असल्याने तो 100 वेळा येतो. म्हणून 6 हा अंक एकूण 20 + 20 + 100 = 140 वेळा येतो. 
उदा. (2) 301 ते 500 या संख्यादरम्यान येणाऱ्या सर्व संख्यांमध्ये 4 हा अंक फक्त एकदाच येतो अशा एकूण किती संख्या आहेत?
301 ते 399 या संख्यांमध्ये 4 हा अंक फक्त एकदाच येतो अशा 18 संख्या आहेत. 400 ते 499 या 100 संख्यांमध्ये 4 हा अंक एकक व दशकस्थानी असणाऱ्या 19 संख्या आहेत याचा अर्थ 100 पकी 81 संख्यांमध्ये 4 हा अंक फक्त शतक स्थानी आहे. यावरून अपेक्षित संख्या = 18 + 18 = 99 होय.
संख्यांचे प्रकार – गणितातील संख्यांमध्ये वास्तव संख्यांचे परिमेय संख्या व अपरिमेय संख्या असे दोन प्रकार आहेत. जी संख्या p / q  या स्वरूपात लिहिता येते तिला परिमेय संख्या म्हणतात. येथे p व q कोणत्याही दोन पूर्णाक संख्या असून ही शून्येत्तर असते. 
उदा. 1/2 , 1/34, 5, 0  इ.
परिमेय संख्यांमध्ये नसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णाक संख्या, व्यवहारी अपूर्णाक, खंडित व आवर्ती दशांश, अपूर्णाक या संख्यांचा समावेश होतो तर अपरिमेय संख्या या अखंडित अनावर्ती दशांश अपूर्णाक असतात.
उदा. √2, √3, π√5
क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या, त्यांच्या वर्गाच्या वा घनांच्या बेरजेच्या सूत्रांवर आधारित विविध प्रश्न विचारले जातात. 
(1)    एका विद्यार्थ्यांने पहिल्या काही क्रमवार नसर्गिक संख्यांची बेरीज करताना एक संख्या वगळली. त्यामुळे त्याची बेरीज 52 आली तर त्याने कोणती संख्या वगळली? 
आपणास माहीत आहे की पहिल्या 10 क्रमवार नसर्गिक संख्यांची बेरीज 55 असते. ज्या अर्थी बेरीज 52 आलेली आहे. त्याअर्थी त्या विद्यार्थ्यांने 55 – 52 = 3 ही संख्या वगळलेली आहे. या उदाहरणातील 52 या संख्येऐवजी मोठी संख्या असती तर क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या बेरजेचे सूत्र n(n+1)/2      वापरून n च्या लहानात लहान किंमतीला वगळलेली संख्या शोधता येते. 
(2)    दोन क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या वर्गातील फरक 37 आहे, तर त्या संख्या कोणत्या?
लहान संख्या ७ मानू. यावरून, मोठी संख्या = (x+1) 
दिलेल्या माहितीवरून,
(x + 1)2 ७2 = 37
x2 + 2x +1 x2 = 37
2x + 1= 37; 2x = 36; x = 18
यावरून, त्या दोन संख्या 18 व 19 आहेत, 
क्लृप्ती – दोन क्रमवार नसर्गिक संख्यांच्या वर्गातील फरक हा त्यांच्या बेरजेइतका असतो.
(3)    एका परीक्षेत प्रत्येक बरोबर उत्तरासाठी 6 गुण दिले जातात व प्रत्येक चुकीच्या उत्तरासाठी 3 गुण वजा केले जातात. एका उमेदवाराने त्या परीक्षेतील सर्व म्हणजे 100 प्रश्न सोडविले व त्यास एकूण 474 गुण मिळाले तर त्या उमेदवाराने किती प्रश्नांची उत्तरे बरोबर दिली?
* पद्धत (1) : समजा त्या उमेदवाराने x प्रश्नांची उत्तरे बरोबर दिली.  ज्या प्रश्नांची उत्तरे चुकली त्यांची संख्या = 100 – x दिलेल्या माहितीवरून, 6x – 3100 – x = 474, 6x – 300 + 3x = 474, 9 x = 474 , x = 86 यावरून त्याने 86 प्रश्नांची उत्तरे बरोबर दिली.
* पद्धत (2) : त्या परीक्षेतील कमाल गुण = 100 x 6 = 600 उमेदवारास मिळालेले गुण = 474 कमी झालेले गुण  = 600 – 474 = 126 एका प्रश्नाचे उत्तर चुकल्यास 6 + 3 = 9 गुण 600 मधून कमी होतात. म्हणून चुकीची उत्तरे दिलेल्या प्रश्नांची संख्या = 126 ÷ 9 = 14
बरोबर उत्तरांची संख्या = 100 – 14 = 86.
(कमी वेळेत उत्तर आणण्यासाठी दुसऱ्या पद्धतीचा वापर करता येईल.)
(4) माणसांच्या एका गटात 40 जोडपी आहेत उरलेले लोक एकेकटे आहेत. एकएकटय़ा पुरुषांचे एकेकटय़ा स्त्रियांशी 2 : 1 गुणोत्तर आहे. एकूण पुरुषांचे एकूण स्त्रियांशी 3 : 2 गुणोत्तर आहे. तर त्या गटातील एकूण पुरुष किती?
पर्याय – (40, 80, 120, 200)
* दिलेल्या प्रश्नातील माहितीवरून एकूण पुरुष व एकूण स्त्रिया यांचे गुणोत्तर 3 : 2. याचा अर्थ एकूण पुरुषांच्या संख्येला 3 ने पूर्ण भाग जायला हवा. पर्यायांमध्ये 3 ने पूर्ण भाग जाणारी एकमेव संख्या 120 आहे यावरून एकूण पुरुषांची संख्या 120 येईल. अशा उदाहरणांमध्ये पर्यायांचा विचार केल्यास कमी वेळेत उत्तर येते.